СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 530241

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.

Решение.

Преобразуем систему:

Графиком второго уравнения является семейство параллельных прямых (см. рис., выделено лиловым). При первое уравнение, а значит, и вся система, не имеет решений. При графиком первого уравнения в системе координат xOy является окружность с центром в точке и радиусом , при вырождающаяся в точку. При система имеет единственное решение Исходная система будет иметь ровно четыре решения тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно четыре общие точки с семейством прямых.

Прямая при любом значении имеет две общие точки с окружностью. В силу симметрии прямая и прямая касаются окружности при одном и том же значении a. Радиус окружности в этом случае равен половине диагонали квадрата со стороной 1, то есть радиус равен откуда Значит, при система имеет ровно четыре решения. При других значениях параметра система будет иметь или больше четырех решений, или меньше.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.