СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 530242

а) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное — 123?

б) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 7, а наименьшее общее кратное — 294?

в) Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 13, а наименьшее общее кратное — 78.

Решение.

а) Нет. Наименьшее общее кратное делится на любое из этих чисел, а они, в свою очередь делятся, на их наибольший общий делитель. Значит, и наименьшее общее кратное делится на их наибольший общий делитель. Но 123 не делится на 5.

б) Да, например, 7 и 294 или 42 и 49.

в) Пусть эти числа равны 13x и 13y, где x и y не имеют общих делителей. Тогда наименьшее общее кратное данных чисел , откуда натуральными решениями полученного уравнения являются или или Тогда исходные числа равны либо 13 и 78, либо 26 и 39.

 

Ответ: а) нет; б) да, например, 7 и 294; в) 13 и 78, 26 и 39.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.