Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 530461

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 3, 4, 5, 6 и 7 (34567, 34576 и т. д.).

а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?

б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?

в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например, число 63745=55 умножить на 1159.

б) Предположим, что такое число есть и его десятичная запись имеет вид \overlineabcde, где a, b, c, d и e — это различные, расставленные в некотором (возможно, ином) порядке цифры 3, 4, 5, 6 и 7. Поскольку число \overlineabcde делится на 505=101 умножить на 5, получаем, что оно делится на 101 и 5. Значит, e=5. Имеем

\overlineabcde=\overlineabcd5=100 умножить на \overlineabc плюс \overlined5=101 умножить на \overlineabc минус левая круглая скобка \overlineabc минус \overlined5 правая круглая скобка .

Следовательно, разность \overlineabc минус \overlined5 делится на 101 и найдётся такое натуральное число k\leqslant9, что \overlineabc минус \overlined5=101 умножить на k. Так как c может принимать значения 3, 4, 6 или 7, отсюда получаем, что k может принимать значения 8, 9, 1 или 2 соответственно. Если k\geqslant8A, то a\geqslant8. Если k\leqslant2, то a\leqslant2. Пришли к противоречию.

в) Пусть \overlineabcde — это десятичная запись какого-либо числа с доски. Имеем

\overlineabcde=a умножить на 10 в степени 4 плюс b умножить на 10 в кубе плюс c умножить на 10 в квадрате плюс d умножить на 10 плюс e= левая круглая скобка a минус b плюс c минус d плюс e правая круглая скобка плюс 11 умножить на левая круглая скобка a умножить на 909 плюс b умножить на 91 плюс c умножить на 9 плюс d правая круглая скобка .

Число \overlineabcde делится на 11 тогда и только тогда, когда число a минус b плюс c минус d плюс e делится на 11. Сумма цифр каждого из чисел с доски равна

a плюс b плюс c плюс d плюс e=3 плюс 4 плюс 5 плюс 6 плюс 7=25.

Значит, a минус b плюс c минус d плюс e=25 минус 2 левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка . Поскольку b плюс d может принимать значения от 7 до 13, получаем, что число \overlineabcde делится на 11 тогда и только тогда, когда b плюс d=7, то есть когда b и d — это различные, расставленные в некотором (возможно, ином) порядке цифры 3 и 4. Среди чисел указанного вида наибольшим числом на доске является 74635.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 74635.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в.4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в.3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены.2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 530461: 530563 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства