Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
а) Проведём медиану S1M треугольника SS1B, которая пересекает медиану BB1 основания BCD в точке T. Тогда BT : TB1 = 4 : 5, поскольку BO также является медианой треугольника SS1B.
Точка L, в свою очередь, делит отрезок B1D в отношении DL : LB1 = 4 : 5, поскольку LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB1 — медиана треугольника BCD. Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.
Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём 
и 
Из равенства треугольников BMP и DKL получим 
а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.
б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна 
Ответ: б) 5,75.