Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 530678

Известно, что a, b, c, d, e и f — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором, возможно ином, порядке.

а) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби = дробь: числитель: 29, знаменатель: 4 конец дроби ?

б) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби = дробь: числитель: 451, знаменатель: 90 конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби ?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть a=9, b=3, c=6, d=2, e=5 и f=4. Тогда

 дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби =3 плюс 3 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 29, знаменатель: 4 конец дроби .

б) Предположим, что это возможно. Дробь  дробь: числитель: 451, знаменатель: 90 конец дроби несократима и больше 5. Значит, наименьшее общее кратное знаменателей b, d и f дробей  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби ,  дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби и  дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби делится на 90. Поэтому числа b, d и f — это либо числа 2, 5 и 9, расставленные без повторений в некотором порядке, либо числа 4, 5 и 9, расставленные без повторений в некотором порядке, либо числа 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором порядке. В первом случае сумма  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби меньше, чем  дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 73, знаменатель: 15 конец дроби меньше 5, во втором — меньше, чем  дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 9 конец дроби меньше 5, в третьем — меньше, чем  дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби меньше 5. Пришли к противоречию.

в) Пусть числа a, b, c, d, e и f таковы, что сумма  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби принимает наименьшее возможное значение. Если знаменатели b, d и f дробей  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби ,  дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби и  дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби  — это не расставленные в некотором порядке числа 5, 6 и 9, то сумму  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби можно уменьшить, поменяв местами то из чисел 5, 6 или 9, которое попало в числитель, с тем из чисел 2, 3 или 4, которое попало в знаменатель. Далее без ограничения общности считаем, что b=5, d=6 и f=9.

Пусть k, l, m и n — какие-либо положительные числа, удовлетворяющие неравенствам k меньше m и l меньше n. Тогда

 левая круглая скобка дробь: числитель: m, знаменатель: l конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка дробь: числитель: k, знаменатель: l конец дроби плюс дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: l конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка больше 0

и, следовательно,  дробь: числитель: m, знаменатель: l конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби больше дробь: числитель: k, знаменатель: l конец дроби плюс дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби . Поэтому если числители a, c и e дробей  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: 5 конец дроби ,  дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: 6 конец дроби и  дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби = дробь: числитель: e, знаменатель: 9 конец дроби не идут в порядке возрастания, то сумму  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби можно уменьшить, поменяв между собой те из этих числителей , которые

идут в порядке убывания. Следовательно, наименьшее возможное значение суммы  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: e, знаменатель: f конец дроби равно  дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 121, знаменатель: 90 конец дроби .

 

Ответ: а) Да; б) нет; в)  дробь: числитель: 121, знаменатель: 90 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в.4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в.3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены.2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 530678: 530698 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Методы алгебры: Введение замены