Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 530700

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми KN и LM равен 60°. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM = 12.

а) Найдите объем пирамиды SKLMN.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SKL.

Решение.

а) Заметим, что если грани пирамиды, проходящие через основания пирамиды, перпендикулярны основанию, то они параллельны. Значит, перпендикулярны основанию грани, проходящие через боковые стороны трапеции KN и LM. Пусть прямые KN и LM пересекаются в точке P, следовательно, P — точка пересечения плоскостей SLM и SNK, SP=(SLM)\cap(SNK). Заметим, что так как плоскость SLM перпендикулярна плоскости KLMN и плоскость SNK перпендикулярна плоскости KLMN, то прямая SP перпендикуляра плоскости KLMN, то есть SP — высота пирамиды.

Так как трапеция равнобедренная, то углы PMN и PNM равны, и треугольник PNM равнобедренный с углом при вершине 60°, а значит треугольник PMN — равносторонний. Окружность, вписанная в трапецию KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник PMN. Её радиус

R=OH_2=OH_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 PH_2,

 

следовательно,  дробь, числитель — PH_1, знаменатель — PH_2 = дробь, числитель — PL, знаменатель — PM = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , откуда PL=KL=PK=2, а PM=MN=PN=6. Тогда

S_{KLMN}=S_{PNM} минус S_{PKL}=9 корень из { 3} минус корень из { 3}=8 корень из { 3},

SP= корень из { SM в степени 2 минус PM в степени 2 }=6 корень из { 3},

V_{SKLMN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{KLMN} умножить на SP= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 8 корень из { 3} умножить на 6 корень из { 3}=48.

б) Прямая MN параллельна плоскости SKL, поэтому d(M,SKL)=d(H_2,SKL), где H2 — середина MN. Рассмотрим плоскость SPH2. Прямая SP перпендикулярна прямой KL, прямая PH1 перпендикулярна прямой KL, следовательно, прямая KL перпендикулярна плоскости SPH2. Опустим из H2 перпендикуляр на прямую SH1, H_2O\subset SPH_2, значит, прямая H2O перпендикулярна прямым KL и SH1, следовательно, прямая H2O перпендикулярна плоскости SKL и H2O является искомым расстоянием.

 

Треугольники H2OH1 и SPH1 подобны, следовательно,

 дробь, числитель — H_2O, знаменатель — H_2H_1 = дробь, числитель — SP, знаменатель — SH_1 равносильно H_2O= дробь, числитель — SP умножить на H_2H_1, знаменатель — SH_1 .

Из п. а) следует:

SP=6 корень из { 3},    PH_1= корень из { 3},    H_2H_1=2 корень из { 3},

SH_1= корень из { (6 корень из { 3}) в степени 2 плюс ( корень из { 3}) в степени 2 }= корень из { 3(36 плюс 1)}= корень из { 111}.

Тогда

H_2O= дробь, числитель — 6 корень из { 3} умножить на 2 корень из { 3}, знаменатель — корень из { 111 }= дробь, числитель — 12 умножить на 3 умножить на корень из { 111}, знаменатель — 111 = дробь, числитель — 12 корень из { 111}, знаменатель — 37 .

Ответ: а) 48; б)  дробь, числитель — 12 корень из { 111}, знаменатель — 37 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 295.