Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 530702

Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка K так, что расстояния от нее до продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно.

а) Найдите расстояние от точки K до прямой AB.

б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую AB, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и E — основания перпендикуляров, опущенных из точки K на прямые AC и BC соответственно?

Решение.

а) Пусть H — проекция точки K на AB. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой \angle FAK=\angle HBK и \angle KAH=\angle KBE. Значит, треугольники FAK и HBK подобны по двум углам и треугольники KAH и KBE подобен по двум углам. Таким образом,

 дробь, числитель — FK, знаменатель — KH = дробь, числитель — AK, знаменатель — BK = дробь, числитель — KH, знаменатель — KE ,

KH в степени 2 =FK умножить на KE=39 умножить на 156 равносильно KH= корень из { 39 умножить на 156}=78.

б) Имеем:

 дробь, числитель — S_{FAK}, знаменатель — S_{HBK }= левая круглая скобка дробь, числитель — FK, знаменатель — HK правая круглая скобка в степени 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

Аналогично,  дробь, числитель — S_{KAH}, знаменатель — S_{KBE }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Значит,

 дробь, числитель — S_{FAK} плюс S_{KAH}, знаменатель — S_{KHB плюс S_{KBE}}= дробь, числитель — S_{FAK} плюс S_{KAH}, знаменатель — 4S_{FAK плюс 4S_{KAH}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

Ответ: а) 78; б)  дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 295.