Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 530704

Найдите значения параметра a, при которых уравнение

 косинус в степени 2 x минус a в степени 2 косинус x плюс левая круглая скобка a в степени 2 минус a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка =0

имеет ровно одно решение на промежутке  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

Сделаем замену t= косинус x и найдём корни уравнения

t в степени 2 минус a в степени 2 t плюс левая круглая скобка a в степени 2 минус a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка =0     (*)

по теореме, обратной теореме Виета:

 совокупность выражений t=a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,t=a в степени 2 минус a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Заметим, что если  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше t меньше 1, то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же t=1 или 0 меньше или равно t меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня.

В системе координат aOt графиком уравнения (*) является объединение прямой t=a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 и параболы t=a в степени 2 минус a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . Заметим, что прямая является касательной к параболе в точке a=1 (это следует из того, что уравнение a в степени 2 минус a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 имеет единственное решение).

Требуется найти такие a, при которых уравнение (*) имеет ровно один корень на  левая квадратная скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая квадратная скобка \cup \{1\} и при этом не имеет корней на  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;1 правая круглая скобка . Это выполняется при a=a_1,0 меньше или равно a меньше a_2, a=1,a=a_3. Найдём значения a_1,a_2и a_3.

Значение a_1 является меньшим корнем уравнения a в степени 2 минус a плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 =1, получаем: a_1= дробь, числитель — 1 минус корень из 3 , знаменатель — 2 . Значение a_2 является корнем уравнения a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 =0, получаем: a_2= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . Значение a_3 является корнем уравнения a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 =1, получаем: a_3= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке  левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка при a= дробь, числитель — 1 минус корень из 3 , знаменатель — 2 , 0 меньше или равно a меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,a=1,a= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

 

Ответ:  левая квадратная скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup \left\{ дробь, числитель — 1 минус корень из 3 , знаменатель — 2 ,1, дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 \}.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 295.