СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 531829

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р — середина А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2 : 1, считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.

б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба.

Решение.

а) Прямая PR лежит в сечении, R — центр грани , значит, расстояние от R до грани и от точки P равны, . Следовательно, прямые PR и ABB1A1 параллельны и сечение PQR пересекает грань по прямой, параллельной PR.

Пусть Q' — проекция Q на ребро . При этом и Пусть R' — проекция R на ребро тогда Следовательно, треугольник подобен треугольнику PRR', прямые A1Q и PR параллельны и принадлежит плоскости PQR. Пусть M — точка пересечения прямых и , а прямые D1N и A1M параллельны, N принадлежит тогда искомое сечение  — прямоугольник:

 · 

 

б) Рассмотрим плоскость прямая лежит в плоскости PQR. Пусть K — точка пересечения прямых и значит, искомое соотношение — Треугольники и подобны (см. рис.), следовательно,

Ответ:а) б) 2 : 1.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 300.