СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 531834

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел в А равно q и никакие два числа в множестве А не являются взаимно простыми. Найдите все числа множества А, если:

а) q = 210, произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.

б) q = 390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа.

в) q = 330, произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа, а сумма всех чисел из А равна 755.

Решение.

Ясно, что все числа являются делителями q.

а) Делители числа 210 — суть произведения каких-то чисел из набора 2, 3, 5, 7. Они все разбиваются на пары, дающие в произведении 210, причем числа из одной пары взаимно просты, поэтому их оба взять нельзя. Этих пар 8, поэтому нужно взять по числу из каждой пары. Поскольку произведение делится на , то минимум из 7 пар придется взять четное число. Либо одно из выбранных будет 2 — тогда все остальные тоже обязаны быть четными во избежание взаимной простоты с двойкой, а их произведение будет квадратом (оно равно ), либо 2 не выбрано — тогда вместо него выбрано 105. Нетрудно видеть, что вариант «все четные, кроме двойки, и еще 105» удовлетворяет всем условиям.

б) Аналогично поэтому все делители разбиваются на пары, причем числа в каждой паре взаимно просты, из каждой пары нужно взять ровно одно число. Если не взять ни одного числа, кратного 5, то придется взять единицу, что невозможно. Значит, произведение не кратно 160 лишь потому, что не кратно 32. Если взять 3, то все прочие числа будут кратны 3, и их произведение составит и будет четвертой степенью. Аналогично нельзя взять 5, 13 и еще 1. Итак, уже точно взяты их пары, то есть 130, 78, 30, 390, поэтому больше четных чисел брать нельзя (иначе произведение поделится на 32). Значит, из остальных пар взяты нечетные числа. Этот вариант подходит.

в) Аналогично —перечисляя делители и разбивая их на пары — находим, что делители 1, 2, 3, 5, 11 брать нельзя, поэтому точно взяты парные к ним — значит, нужно набрать еще сумму 54, взяв по числу из пар Из последней, очевидно, надо взять 6, после чего переборов вариантов в первых двух определяем полный список чисел.

 

Ответ: а) 105, 6, 10, 14, 30, 42, 70, 210; б) 130, 78, 30, 390, 15, 39, 65, 195; в) 330, 165, 110, 66, 30, 6, 15, 33.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 300.