Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 541261
i

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1. Из­вест­но, что AB  =  BC. Точка K  — се­ре­ди­на ребра A1B1, а точка M лежит на ребре AC и делит его в от­но­ше­нии AM : MC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC .

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KM и A1C1, если AB  =  10, AC  =  8 и AA1  =  3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть точка L лежит на ребре A1C1 и делит его в от­но­ше­нии A1L : LC1  =  1 : 3. По­сколь­ку тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, тре­уголь­ник A1B1C1 тоже рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок KL пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не A1C1. От­ре­зок ML тоже пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не A1C1. По­лу­ча­ем, что пря­мая A1C1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KLM, то есть пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой A1C1, а сле­до­ва­тель­но, и пря­мой AC.

б)  Пусть LH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM. Пря­мая A1C1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KLM, по­это­му рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KM и A1C1 равно LH. Тогда KL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: AC в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , LM  =  AA1  =  3, KM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KL в квад­ра­те плюс KM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та . Зна­чит, KL · LM  =  KM · LH, LH= дробь: чис­ли­тель: KL умно­жить на LM, зна­ме­на­тель: KM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пря­мая тре­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026