ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 542044 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a при каждом из которых система неравенств

$система выражений новая строка левая круглая скобка a минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше 0, новая строка x в квадрате меньше или равно 1 конец системы .$

не имеет решений.

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу графо-аналитическим методом. Изобразим решение первого неравенства системы в плоскости $xOa.$ Для этого найдём решения уравнения, соответствующего этому неравенству:

$левая круглая скобка a минус x в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка a плюс x минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=x в квадрате ,a= минус x плюс 2. конец совокупности .$

Рис. 1

Рис. 2

Графиком уравнения $a= минус x плюс 2$ является прямая, графиком уравнения $a=x в квадрате$ является парабола. Найденные прямая и парабола (на рис. изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на пять частей, обозначенных римскими цифрами. В каждой из частей левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Проверим для каждого участка выполняется ли исходное неравенство, подставив координаты одной из точек.

Рис. 3

Участок I: точка $левая круглая скобка 2;1 правая круглая скобка$   — $левая круглая скобка 1 минус 2 в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 минус 2 правая круглая скобка меньше 0$   — верно.

Участок II: точка $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка$   — $левая круглая скобка 3 минус 0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3 плюс 0 минус 2 правая круглая скобка меньше 0$   — неверно.

Участок III: точка $левая круглая скобка минус 3;6 правая круглая скобка$   — $левая круглая скобка 6 минус левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 6 минус 3 минус 2 правая круглая скобка меньше 0$   — верно.

Участок IV: точка $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$   — $левая круглая скобка 1 минус 0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 0 минус 2 правая круглая скобка меньше 0$   — верно.

Участок V: точка $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка$   — $левая круглая скобка 0 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 0 минус 1 минус 2 правая круглая скобка меньше 0$   — неверно.

Множество точек, являющихся решением первого неравенства системы, изображено на рисунке небесно-⁠голубым цветом.

Изобразим решение второго неравенства системы в плоскости $xOa.$ Для этого найдём решения уравнения, соответствующего этому неравенству:

$x в квадрате =1 равносильно x=\pm1.$

Графиками уравнений $x= минус 1$ и $x=1$ являются вертикальные прямые. Множество точек, являющихся решением второго неравенства системы,  — полоса между этими прямыми  — изображено на рисунке розовым цветом.

Решением системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенства, изображено на рисунке фиолетовым цветом.

Таким образом, система имеет решения при $0 меньше a меньше 3,$ а не имеет решений при  $a\leqslant0$  или  $a\geqslant3.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Примечание.

Внимательный читатель отметит, что решение можно несколько сократить. Действительно, если начать с решения второго неравенства, то анализировать все области решения первого неравенства не понадобится: достаточно будет взять лишь одну пробную точку, лежащую в области IV.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 309 (часть 2)

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых», Комбинация прямых, Координаты (x, a), Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь