Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 547548

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений a(x плюс 2) плюс y=3a,a плюс 2x в степени 3 =y в степени 3 плюс (a плюс 2)x в степени 3 конец системы .

имеет не более двух решений.

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений a(x плюс 2) плюс y=3a,a плюс 2x в степени 3 =y в степени 3 плюс (a плюс 2)x в степени 3 конец системы равносильно система выражений y=a(1 минус x),y в степени 3 =a левая круглая скобка 1 минус x в степени 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений y=a(1 минус x),a в степени 3 (1 минус x) в степени 3 =a(1 минус x) левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в степени 2 правая круглая скобка . конец системы .

При a=0 система имеет бесконечное число решений. Рассмотрим случай a не равно 0. Тогда, в силу взаимной однозначности соответствия переменных в уравнении y=a(1 минус x), количество решений системы совпадает с количеством решений уравнения

a в степени 3 (1 минус x) в степени 3 =a(1 минус x) левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в степени 2 правая круглая скобка \underset{a не равно 0}{\mathop{ равносильно }} совокупность выражений x=1,a в степени 2 (1 минус x) в степени 2 =1 плюс x плюс x в степени 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,(a в степени 2 минус 1)x в степени 2 минус (2a в степени 2 плюс 1)x плюс a в степени 2 минус 1=0. (*) конец совокупности .

Заметим, что x=1 не является решением уравнения (⁎) ни при каких значениях параметра a. Значит, совокупность имеет не более двух решений, если уравнение (⁎) имеет не более одного решения.

При a=\pm1 уравнение (⁎) является линейным и имеет единственный корень x=0. Значит, значения a=\pm1 удовлетворяют условию задачи (исходная система имеет два решения). При a не равно \pm1 уравнение (⁎) является квадратным и имеет не более одного корня, если его дискриминант неположителен. Имеем:

 левая круглая скобка 2a в степени 2 плюс 1 правая круглая скобка в степени 2 минус 4 левая круглая скобка a в степени 2 минус 1 правая круглая скобка в степени 2 меньше или равно 0 равносильно 4a в степени 2 минус 1 меньше или равно 0 \underset{a не равно 0}{\mathop{ равносильно }} совокупность выражений минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше или равно a меньше 0,0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Таким образом, исходная система имеет не более двух решений при  минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше или равно a меньше 0,  0 меньше a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , или если a=\pm1.

Ответ:  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая квадратная скобка \cup \{ минус 1; 1\}.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 317. (Часть C)