Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 548032
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние | ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x|= минус ко­си­нус 2x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Ис­ход­ное урав­не­ние имеет смысл толь­ко при  ко­си­нус 2x мень­ше или равно 0, тогда это эк­ви­ва­лент­но со­во­куп­но­сти:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x = минус ко­си­нус 2x, ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x = ко­си­нус 2x конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус x плюс ко­си­нус 2x=0,2 ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус x минус ко­си­нус 2x = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, ко­си­нус 2x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x=0, ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

Все най­ден­ные серии кор­ней удо­вле­тво­ря­ют усло­вию  ко­си­нус 2x мень­ше или равно 0.

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.), по­лу­чим:  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k: k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 319. (Часть C)
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ние с мо­ду­лем, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния