Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC1 и ме­ди­а­ну AA1. Ока­за­лось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA1 : CC1  =  4 : 3 и A1C1  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Угол AC1C равен 90°, сле­до­ва­тель­но, угол AA1C равен 90°, по­сколь­ку AC  — диа­метр окруж­но­сти. Тогда AA1  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка  ABC. Таким об­ра­зом, от­рез­ки AB и AC равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Тре­уголь­ни­ки ABA1 и CBC1 по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но, дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: CB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AA_1, зна­ме­на­тель: CC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Так как C1A1  — ме­ди­а­на в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BC1C, то

C_1A_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC рав­но­силь­но BC=12 \Rightarrow AB=16.

Вы­чис­лим пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 16, а ос­но­ва­ние BC  =  12:

S_ABC= дробь: чис­ли­тель: AA_1 умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 в квад­ра­те минус 6 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на 12, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025