Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 549119

а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена x в квадрате плюс mx плюс n равен 17?

б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена x в квадрате плюс mx плюс n равен 54?

в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена x в квадрате плюс левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 3n плюс m правая круглая скобка , если известно, что числа m, n и D — натуральные?

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например, можно взять  x в квадрате плюс 5x плюс 2.

б) Нет. Если бы это было возможно, то выполнялось бы равенство m в квадрате минус 4n=54, откуда m в квадрате =54 плюс 4n. Если m четно, то m в квадрате кратно 4, а 54 + 4n не кратно 4. Если же m нечетно, то m в квадрате тоже нечетно, а 54 + 4n четно.

в) Дискриминант уравнения равен

 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3n плюс m правая круглая скобка = левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12n минус 4m= левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка плюс 32m

= левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка в квадрате минус 12 левая круглая скобка 3m плюс n правая круглая скобка плюс 36 плюс 32m минус 36= левая круглая скобка 3m плюс n минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 32m минус 36.

Пусть m = 1, тогда

 левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 32 минус 36= левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4=n в квадрате минус 6n плюс 5= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 5 правая круглая скобка .

При n принадлежит левая квадратная скобка 1;5 правая квадратная скобка это выражение неположительно, а при n больше или равно 6 оно возрастает, поэтому оптимальный вариант будет при n = 6. В этом случае дискриминант будет равен 5 и трехчлен будет иметь вид: x в квадрате плюс 9x плюс 19.

Пусть m больше или равно 2, то это выражение будет не меньше 0 в квадрате плюс 32 умножить на 2 минус 36=28.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:

— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;

— верный ответ, но решение недостаточно обосновано

2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 549119: 548436 Все

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 3
Классификатор алгебры: Числа и их свойства