Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 551499
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой ко­си­нус альфа умно­жить на ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа минус бета пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка :

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус 1 рав­но­силь­но ко­си­нус 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z .

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном про­ме­жут­ке лежат корни: минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та а):

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми ко­си­нус суммы и ко­си­нус раз­но­сти:

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус синус x синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс синус x синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус синус в квад­ра­те x синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус в квад­ра­те x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 синус в квад­ра­те x= минус 2 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те минус 3 плюс 3 ко­си­нус в квад­ра­те x= минус 2 рав­но­силь­но 4 ко­си­нус в квад­ра­те x=1 рав­но­силь­но ко­си­нус x= \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 325. (часть C)
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы для про­из­ве­де­ния функ­ций, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы или раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Методы алгебры: Фор­му­лы сло­же­ния и вы­чи­та­ния
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Владимир Шегай 09.05.2024 14:04

ошиб­ка в зна­ках

Служба поддержки

Где?



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026