Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 551505

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

а) Чему равна сумма цифр две тысячи пятнадцатого замечательного числа?

б) Сколько существует двухзначных замечательных чисел?

в) Какой порядковый номер замечательного числа 5999?

г) Чему равна сумма всех четырехзначных замечательных чисел?

Спрятать решение

Решение.

Пусть нужно найти наименьшее число с суммой цифр a плюс 9b, где 1 меньше или равно a меньше или равно 9. Тогда в нем не менее b плюс 1 цифры, поскольку сумма b цифр не превосходит 9b. Построим (b + 1)-значное число. Его первая цифра не меньше a, так как иначе сумма остальных b цифр больше 9b. Если взять первую цифру равной a, то остальные придется взять девятками. Такое число подойдет и оно наименьшее — оно выигрывает у остальных либо по числу цифр, либо по первой цифре у тех, какие одной с ним длины. Очевидно, эти числа упорядочены так, что

1 меньше 2 меньше \ldots меньше 9 меньше 19 меньше 29 меньше \ldots меньше 99 меньше 199 меньше \ldots

а) Из вышесказанного ясно, что сумма равна 2015, поскольку замечательные числа упорядочены по возрастанию суммы цифр.

б) Это числа 19, 29, ..., 99. Всего 9 чисел.

в) Искомый номер 5 + 9 + 9 + 9 = 32.

г) Сумма равна

1999 плюс 2999 плюс \ldots 9999=9 умножить на дробь: числитель: 1999 плюс 9999, знаменатель: 2 конец дроби =53991.

Ответ: а) 2015, б) 9, в) 32, г) 53 991.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 325. (часть C).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства