Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 556342

Вася записал на листе бумаги некоторую последовательность из n чисел (n > 3), а затем продолжил её, повторив все числа ещё раз в том же порядке. Затем Вася предложил Маше сыграть в игру по следующим правилам. За один ход Маша может спросить у Васи сумму любых трёх подряд идущих чисел. Маша выигрывает, если через несколько ходов узнает все числа.

а) Может ли Маша гарантированно выиграть, если n = 5?

б) Может ли Маша гарантированно выиграть, если n = 9?

в) За какое наименьшее число ходов Маша может гарантированно выиграть, если n = 22?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим числа, записанные Васей, через x_1,x_2,...,x_n,x_1,x_2,...,x_n.

а) Может. Маша должна сначала узнать суммы x_1 плюс x_2 плюс x_3, x_2 плюс x_3 плюс x_4, x_3 плюс x_4 плюс x_5, x_4 плюс x_5 плюс x_1, x_5 плюс x_1 плюс x_2. Сложив эти пять сумм, Маша получит число 3 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 плюс x_5 правая круглая скобка , при делении которого на 3 получается сумма x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 плюс x_5. Вычитая из суммы x_1 плюс ... плюс x_5 сумму x_1 плюс x_2 плюс x_3, Маша узнает x_4 плюс x_5. Теперь Маша может узнать x_1, вычитая из x_4 плюс x_5 плюс x_1 сумму x_4 плюс x_5. Аналогично получаются другие числа.

б) Не может. Например, Вася может взять в качестве исходной последовательности 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 или 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, и Маша не сможет различить эти два случая — суммы любых трёх подряд идущих чисел в каждом из этих случаев равны 6.

в) Докажем, что Маша может выиграть за 22 хода, узнав значения всех возможных сумм троек подряд идущих чисел. Сложив суммы x_1 плюс x_2 плюс x_3, x_2 плюс x_3 плюс x_4,..., x_21 плюс x_22 плюс x_1, x_22 плюс x_1 плюс x_2, Маша получит 3 левая круглая скобка x_1 плюс ... плюс x_22 правая круглая скобка . Складывая суммы x_1 плюс x_2 плюс x_3, x_4 плюс x_5 плюс x_6,..., x_19 плюс x_20 плюс x_21, Маша узнает сумму всех чисел, кроме x_22. Вычитая из суммы x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_22 сумму x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_21, Маша узнает, чему равно x_22. Таким же способом Маша может узнать все прочие числа.

Теперь докажем, что Маша не может выиграть за меньшее число ходов. Для этого достаточно привести пример двух различных последовательностей x_1,x_2,...,x_22,x_1,x_2,...,x_22 и y_1,y_2,...,y_22,y_1,y_2,...,y_22, в которых суммы всех последовательных троек чисел равны, кроме одной. Для определённости можно считать, что x_22 плюс x_1 плюс x_2 не равно y_22 плюс y_1 плюс y_2.

В качестве x_1,x_2,...,x_22 и y_1,y_2,...,y_22 можно взять x_i=0 левая круглая скобка i=1,...,22 правая круглая скобка и \underbrace минус 1, минус 1,2,..., минус 1, минус 1,2,_ минус 1, минус 1,2повторяется 7 раз минус 1.

В первой последовательности все суммы нулевые, тогда как во второй y_22 плюс y_1 плюс y_2= минус 3.

 

Ответ: а) Может; б) не может; в) 22.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 556342: 556451 Все