Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 556620

а) Приведите пример десяти таких различных двузначных чисел, среди которых ровно 5 делятся на 2, ровно 5 делятся на 3, ровно 5 делятся на 5 и ровно 3 делятся на 6.

б) Существуют ли такие десять различных двузначных чисел, среди которых ровно 7 делятся на 3, ровно 7 делятся на 5, ровно 7 делятся на 7?

в) Про десять различных двузначных чисел известно, что наибольший общий делитель любых двух из них равен 1, 2, 3, 5 или 7. Какое наибольшее количество из этих десяти чисел может делиться на 7?

Спрятать решение

Решение.

а) Подходящим примером являются числа 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65.

б) Если среди десяти различных двузначных чисел ровно 7 делятся на 3 и ровно 7 делятся на 5, то среди них не менее четырёх, которые делятся на 3 умножить на 5=15. Если, кроме того, среди этих десяти чисел есть ровно 7, которые делятся на 7, то среди них найдётся хотя бы одно число, которое делится на 3 умножить на 5 умножить на 7=105. Но такого двузначного числа не существует. Пришли к противоречию.

в) Двузначные числа, делящиеся на 7, можно представить в виде 7pi, где pi — натуральное число от 2 (поскольку 7 · 2 = 14) до 14 (поскольку 7 · 14 = 98). Для любой пары таких чисел pi должны быть взаимно простыми, поскольку иначе наибольший общий делитель таких чисел будет больше 7. Среди чисел от 2 до 14 можно выбрать только 6 чисел таких, что любые два из них будут взаимно простыми, это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13. Таким образом, при заданных условиях чисел, делящихся на 7, не может быть больше шести. Покажем, что их может быть ровно шесть. Это, например, следующий набор из десяти чисел: 14, 21, 35, 49, 77, 91, 17, 19, 23, 41. В этом наборе наибольший общий делитель для первых шести чисел равен 7, а наибольший общий делитель любого из последних чисел с любым другим числом набора равен 1.

 

Ответ: а) Например, 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65; б) нет; в) 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 556620: 556627 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства