ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 556622 Добавить в вариант

Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 8. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.

а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ACC₁.

Спрятать решение

Решение.

а)  Прямая $C_1T$ перпендикулярна прямой $A_1B_1,$ поскольку $C_1T$   — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1.$ Прямые $C_1T$ и $A_1A$ перпендикулярны, так как прямая $A_1A$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1.$ Следовательно, прямая $C_1T$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1.$ Значит, прямая $C_1T$ перпендикулярна прямой AT. Следовательно, треугольник $ATC_1$ прямоугольный.

б)  В плоскости $AC_1T$ проведём прямую через середину O отрезка $AC_1$ перпендикулярно этому отрезку. Эта прямая пересекает AT в некоторой точке H. Угол $A_1OH$   — линейный угол искомого угла. Треугольники AOH и $ATC_1$ подобны. Следовательно,

$OH= дробь: числитель: AO умножить на TC_1, знаменатель: AT конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из 2 умножить на 4 корень из 3 , знаменатель: 4 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из 6 , знаменатель: корень из 5 конец дроби .$

Прямые $A_1O$ и OH перпендикулярны прямой $AC_1,$ значит, плоскость $A_1OH$ перпендикулярна прямой $AC_1,$ и прямая $A_1H$ тоже перпендикулярна прямой $AC_1.$ Прямая $C_1T$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1,$ следовательно, прямая $A_1H$ перпендикулярна прямой $C_1T.$ Из этого следует, что прямая $A_1H$ перпендикулярна плоскости $AC_1T,$ а значит, и прямой OH. Тогда

$косинус A_1OH= дробь: числитель: OH, знаменатель: A_1O конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из 6 , знаменатель: корень из 5 умножить на 4 корень из 2 конец дроби = корень из д робь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $арккосинус корень из д робь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 556615: 556622 Все

Классификатор стереометрии: Двугранный угол, линейный угол двугранного угла, Правильная треугольная призма, Сечение  — треугольник, Угол между плоскостями

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь