Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 559275

Известно, что квадратное уравнение вида x2 + mx + k = 0 имеет два различных натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения k при m = −6.

б) Найдите все возможные значения m при k минус m = 45.

в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если k2 − m2 = 2236.

Спрятать решение

Решение.

Пусть корни равны a и b. По теореме Виета, a плюс b = минус m и ab = k.

а) Число 6 можно записать в виде суммы двух различных натуральных слагаемых двумя способами 6 = 1 + 5 = 2 + 4, тогда k = 5 или k = 8.

б) Перепишем уравнение в виде ab + a + b = 45, то есть ab + a + b + 1 = 46, (a + 1)(b + 1) = 46. Оба множителя — натуральные числа, не меньшие двух, поэтому они равны 23 и 2. Значит, числа a и b равны 22 и 1, а тогда m = −(1 + 22) = −23.

в) Запишем уравнение в виде  левая круглая скобка k минус m правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс m правая круглая скобка = 2 в квадрате умножить на 13 умножить на 43. Числа k − m и k + m имеют одинаковую четность, поэтому они оба четны. При этом первое число больше (поскольку m < 0). Значит, либо k минус m = 86, k + m = 26, откуда m = −30, k = 56 и уравнение x2 − 30x + 56 = 0 имеет корни 2 и 28, либо k минус m = 1118, k + m = 2, откуда m = −558, k = 560 и уравнение x2 − 558x + 560 = 0 не имеет натуральных корней.

 

Ответ: а) 5 или 8; б) −23 в) 2 и 28.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов ав1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 340.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства