Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 559413

Пусть \overlineab обозначает двузначное число, равное 10a плюс b, где a и b — цифры, a не равно 0.

а) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что \overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=198?

б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что \overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=495, если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение \overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc, если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6?

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Действительно, поскольку

\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,

нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что ac минус bd=2. Это верно, например, при a =1, b = 2 , c = 8 и d = 3.

б) Докажем, что это невозможно. Имеем

\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .

Значит, если \overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=495, то 99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка =495=99 умножить на 5 и ac минус bd=5.

Если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5, то одно из произведений ac или bd делится на 5, а значит, и другое произведение тоже делится на 5. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр a, b, c и d есть по крайней мере две цифры 5.

в) Как показано выше, имеем

\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .

Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6.

Если цифры 5 и 6 — это a и c, то ac минус bd\leqslant5 умножить на 6 минус 1 умножить на 2=28.

Если цифры 5 и 6 — это b и d, то ac минус bd\leqslant8 умножить на 9 минус 5 умножить на 6=42.

Если цифра 5 — это a или c, а цифра 6 — это b или d, то ac минус bd\leqslant5 умножить на 9 минус 6 умножить на 1=39.

Если цифра 6 — это a или c, а цифра 5 — это b или d, тоac минус bd\leqslant6 умножить на 9 минус 5 умножить на 1=49.

Значит, наибольшее возможное значение выражения \overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc равно 99 умножить на 49=4851, оно достигается при a = 6, b = 5, c = 9 и d =1.

 

Ответ: а) Да; б) нет; в) 99 умножить на 49=4851.

 

Примечание.

Авторам задачи, возможно, следовало бы дополнить пункт в) фразой «где цифры a, b, c и d попарно различны». В случае, если цифры могут быть одинаковыми, можно взять a = 9, c = 9, b = 5, d = 6 и получить

99 · (9 · 9 − 5 · 6) = 99 · 51 = 5049.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 559413: 559607 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства