Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 559577
i

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, ко­то­рой AB  =  CD, AC  =  AD, ∠CAD = ∠CDM, а M  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния BC.

а)  До­ка­жи­те, что ост­рый угол при ос­но­ва­нии тра­пе­ции равен 75°.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее мень­шее ос­но­ва­ние равно 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Тра­пе­ция ABCD рав­но­бо­кая, по­это­му углы ABC и BCD равны. Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Тогда в тре­уголь­ни­ках ABC и MCD по два рав­ных угла, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Из по­до­бия сле­ду­ет, что AB:BC= дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :CD. Тогда BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та AB, от­ку­да AC:MD=AD:MD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AMD. Он рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AD, кроме того, AM в квад­ра­те плюс DM в квад­ра­те =AD в квад­ра­те , зна­чит, \angle ADM=45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть \angle ADC= альфа , сумма углов тре­уголь­ни­ка ACD равна альфа плюс альфа плюс левая круг­лая скоб­ка альфа минус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . От­сю­да альфа =75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По усло­вию, BC  =  2, зна­чит, AB=CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Вы­со­та тра­пе­ции равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, для пло­ща­ди тра­пе­ции по­лу­ча­ем:

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AD плюс BC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =

= 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 75 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус 150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 341
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026