ABCA1B1C1 — правильная призма, сторона AB равна 25. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB1 соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 25, а три другие равны между собой.
а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 62,5.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 64.
а) Отметим на рёбрах BC и AA1 точки N и Q соответственно так, что прямые MN, PQ и AB параллельны. Тогда трапеция PQMN — искомое сечение. В ней PQ = 25, и пусть QM = MN = NP = x. Треугольник CMN равносторонний, значит, MC = x и 
В прямоугольном треугольнике QAM катет 
короче гипотенузы QM = x, поэтому 
то есть 
. Тогда можем оценить периметр сечения:
б) В данном случае 
то есть 
Тогда 
и 
Поскольку плоскость α параллельна прямой AB, расстояние от любой точки прямой AB до α одно и то же, так что найдём расстояние от D до α, где D — середина AB. Пусть точка D1 — середина A1B1, тогда плоскость CDD1 перпендикулярна α.
Искомое расстояние — высота DH прямоугольного треугольника EFD, где E — точка пересечения прямых DD1 и PQ, F — точка пересечения прямых DC и MN. В треугольнике EFD сторона DE равна 5,
Ответ: б) 