Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 560189

Две окружности касаются внешним образом в точке A, через которую проведена их общая касательная, на которой отмечена точка B. Через точку B проведены две прямые: одна пересекает первую окружность в точках K и L (точка K находится между B и L), а другая — вторую окружность в точках M и N (точка M находится между B и N). Прямые KN и LM пересекаются в точке P.

а) Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

б) Найдите отношение площадей треугольников KLP и MNP, если BL = 9, BM = 5, AB = 6.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что по теореме о квадрате касательной

BK умножить на BL=BA в квадрате =BM умножить на BN.

Значит, треугольники BKM и BNL подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем \angle BKM=\angle BNL. Отсюда \angle LKM плюс \angle LNM =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка . Следовательно, четырехугольник KLNM вписанный, что и требовалось доказать.

б) Треугольники KPL и MPN подобны по двум углам, поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, то есть  дробь: числитель: KL в квадрате , знаменатель: MN в квадрате конец дроби . Пусть KL = x, MN = y, тогда по теореме о квадрате касательной получаем: 6 в квадрате =9 левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка =5 левая круглая скобка 5 плюс y правая круглая скобка . Отсюда x=5, y= дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби . Таким образом,

 дробь: числитель: KL в квадрате , знаменатель: MN в квадрате конец дроби = левая круглая скобка 5: левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 625, знаменатель: 121 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 625, знаменатель: 121 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 343.