Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 560192

Имеются зеленые и желтые карточки, всего их 80 штук. На каждой карточке написано натуральное число, а среднее арифметическое всех чисел равно 31. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше любого числа на зелёной карточке. Числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после этого среднее арифметическое всех чисел стало равно 88.

а) Может ли быть ровно 50 желтых карточек?

б) Может ли быть ровно 15 зеленых карточек?

в) Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?

Спрятать решение

Решение.

Общая сумма чисел составляет 80 умножить на 31=2480. Пусть было n зеленых карточек с суммой на них S и 80 минус n желтых карточек с суммой на них 2480 минус S. После утроения сумма чисел на желтых карточках также утроилась, поэтому S плюс 3 левая круглая скобка 2480 минус S правая круглая скобка =88 умножить на 80, откуда 7440 минус 2S=7040 и S=200.

Кроме того, можно изменить числа на карточках следующим образом: если среди чисел на зеленых карточках есть два, отличающихся больше чем на 1, можно увеличить меньшее из них и уменьшить большее из них на 1 — это не повлияет ни на сумму, ни на то, что все числа на желтых карточках больше, чем все числа на зеленых. Продолжая такие действия, можно добиться того, что числа на зеленых карточках принимают лишь два соседних натуральных значения (пусть это x и x плюс 1, тогда nx меньше или равно 200 меньше n левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , поэтому на самом деле x= левая квадратная скобка дробь: числитель: 200, знаменатель: n конец дроби правая квадратная скобка ). Затем будем уменьшать наименьшее из чисел на желтых карточках и увеличивать наибольшее до тех пор, пока наименьшее не станет равно x плюс 2. После этого будем изменять следующее по величине, пока оно не станет равно x плюс 3 и так далее.

а) Поскольку 200=7 умножить на 20 плюс 6 умножить на 10, будем брать в набор 20 семерок и 10 шестерок для записи на зеленых карточках, а также 8, 9, ..., 56 для записи на желтых. Сумма на желтых карточках будет равна  дробь: числитель: левая круглая скобка 8 плюс 56 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 49=1568, и на последней желтой карточке можно будет написать 2280 минус 1568=712.

б) Поскольку 200=5 умножить на 14 плюс 10 умножить на 13, будем брать в набор 5 раз по 14 и 10 раз по 13 для записи на зеленых карточках, а также 15, 16, ...,78 для записи на желтых. Сумма на желтых карточках будет равна  дробь: числитель: левая круглая скобка 15 плюс 78 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 64=2976 больше 2280, поэтому составить такой набор карточек нельзя.

в) Ясно, что с увеличением числа желтых карточек увеличивается и минимально возможное число (поскольку сумма меньшего количества чисел на зеленых карточках постоянна, то при меньшем их количестве максимальное из них будет больше), значит, увеличивается и требуемая сумма чисел на желтых карточках. В то же время она не должна превзойти 2280. Как уже было показано, что для n=30 сумма всех желтых, кроме одной, равна 1568, а для n=15 сумма равна 2976. Попробуем подобрать ответ.

Возьмем среднее между 50 и 65 количество — 57 желтых карточек и 23 зеленых. На них числа, максимальное из которых не меньше  дробь: числитель: 200, знаменатель: 23 конец дроби больше 8, значит, минимальная сумма чисел на всех желтых, кроме одной, равна 56 умножить на дробь: числитель: 10 плюс 65, знаменатель: 2 конец дроби =2100, и можно добавить карточку с числом 180. Но это уже очень близко к нужному ответу.

Проверим 58 желтых карточек и 22 зеленых. На них числа, максимальное из которых не меньше  дробь: числитель: 200, знаменатель: 22 конец дроби больше 9, то есть желтые карточки содержат числа, не меньшие 11, значит, минимальная сумма чисел на всех желтых равна 58 умножить на дробь: числитель: 11 плюс 68, знаменатель: 2 конец дроби =2291 больше 2280, поэтому столько желтых карточек взять нельзя.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 57.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов аг1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 343.