Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 560939

Даны 15 различных натуральных чисел, записанных в порядке возрастания.

а) Могут ли эти числа образовывать арифметическую прогрессию, если сумма первого, третьего и седьмого из них равна 125, а сумма всех чисел равна 885?

б) Могут ли эти числа образовывать арифметическую прогрессию, если сумма первого, третьего и седьмого из них равна 90, а сумма всех чисел равна 810?

в)  Могут ли первые восемь из этих чисел образовывать геометрическую прогрессию с целым знаменателем, если сумма этих восьми чисел равна 103 · 994?

Спрятать решение

Решение.

а) Допустим, первый член равен a, а разность прогрессии равна d. Из условия получаем систему уравнений: a плюс a плюс 2d плюс a плюс 6d=125,  дробь: числитель: 15 левая круглая скобка a плюс a плюс 14d правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =885, откуда 3a плюс 8d=125 и a плюс 7d=59. Решая ее, находим a = 31, d = 4. Итак, для прогрессии 31, 35, ..., 87 все условия выполнены.

б) Составляя аналогично систему, получим: a плюс a плюс 2d плюс a плюс 6d=90,  дробь: числитель: 15 левая круглая скобка a плюс a плюс 14d правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =810, откуда 3a плюс 8d=90 и a плюс 7d=54. Умножая последнее уравнение на 3 и вычитая из него первое, получим 13d=72, что невозможно при целом d.

в) Пусть первые восемь чисел равны b, bq, ... bq7. Тогда b левая круглая скобка 1 плюс q плюс q в квадрате плюс \ldots плюс q в степени 7 правая круглая скобка =103 умножить на 994=103 умножить на 71 умножить на 7 умножить на 2, то есть b левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс q в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс q в степени 4 правая круглая скобка =103 умножить на 71 умножить на 7 умножить на 2. Ясно, что 102, 70, 6 и 1 не могут быть равны q2 или q4, поэтому каждая из скобок (1 + q2) и (1 + q4) требует минимум двух простых множителей. Но поскольку их всего 4, они будут целиком использованы, и тогда q + 1 = 1, что невозможно.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов аг1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 346.