ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 561452 Добавить в вариант

Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

имеет одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Исходное неравенство равносильно совокупности

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3 больше 0, левая круглая скобка * правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3=0. левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец совокупности .$

При любом значении параметра на своей области определения левая часть неравенства (⁎) непрерывна, а потому неравенство строгого знака либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Таким образом, исходное неравенство будет иметь единственное решение, если уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень и при этом неравенство (⁎) не имеет решений. Рассмотрим уравнение (⁎⁎):

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3= логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 1= дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3 конец дроби умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка равносильно система выражений 1= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка ,a больше 0, a не равно 1. конец системы .$ $равносильно 1= дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 3 конец дроби умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 1= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка ,a больше 0, a не равно 1. конец системы .$

Пусть $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента =t, где t\geqslant0,$ тогда

$1= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка .$

Заметим, что при $t больше 2$ каждый из множителей правой части больше 1, значит, уравнение не имеет корней. При $t меньше 2$ каждый из множителей правой части меньше 1, поэтому уравнение также не имеет корней. Значит, $t=2$ является единственным корнем этого уравнения.

Вернёмся к исходной переменной:

$корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента =2 равносильно x в квадрате плюс ax плюс 5=4 равносильно x в квадрате плюс ax плюс 1=0.$

Полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

$D=a в квадрате минус 4=0 равносильно a=\pm2.$

Учитывая ограничения $система выражений a больше 0,a не равно 1, конец системы .$ получаем, что уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень при $a=2.$ Решим неравенство (⁎) при $a=2$ :

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 больше 0 равносильно$
$равносильно 1 больше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 6 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 1 больше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 5 правая круглая скобка .$

При любых значениях x каждый из множителей правой части не меньше 1, значит, неравенство не имеет решений.

Таким образом, исходное неравенство имеет ровно одно решение только при $a=2.$

Ответ: 2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь