Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfrac1 пра­вая круг­лая скоб­ка 7 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: | минус x плюс 1| плюс |x плюс 1|, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: |x минус 1| плюс |x плюс 1|, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \geqslant0 рав­но­силь­но 0 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: |x минус 1| плюс |x плюс 1|, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant1 рав­но­силь­но 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: |x минус 1| плюс |x плюс 1|, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3.

Рас­кро­ем мо­ду­ли, рас­смот­рев три слу­чая. При x\geqslant1 имеем:

1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: x минус 1 плюс x плюс 1, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3 рав­но­силь­но 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3.

В по­лу­чен­ной дроби по­ло­жи­тель­ный чис­ли­тель мень­ше по­ло­жи­тель­но­го зна­ме­на­те­ля, зна­чит, ре­ше­ний нет.

При x\leqslant минус 1 имеем:

1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: минус x плюс 1 минус x минус 1, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3 рав­но­силь­но 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: минус 2x, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3.

В по­лу­чен­ной дроби чис­ли­тель по­ло­жи­те­лен, зна­ме­на­тель от­ри­ца­те­лен, зна­чит, ре­ше­ний нет.

При минус 1 мень­ше x мень­ше 1 имеем:

1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: минус x плюс 1 плюс x плюс 1, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3 рав­но­силь­но 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 1 мень­ше 2\leqslant6x плюс 3,2x плюс 1 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 1 мень­ше 2,2\leqslant6x плюс 3,2x плюс 1 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x\geqslant минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­лу­чен­ное ре­ше­ние лежит в рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке минус 1 мень­ше x мень­ше 1.

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

При­ве­дя урав­не­ние к виду

1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: |x минус 1| плюс |x плюс 1|, зна­ме­на­тель: 2x плюс 1 конец дроби \leqslant3 ,

можно за­ме­тить, что 2x плюс 1 боль­ше 0, тогда |x плюс 1| = x плюс 1. По­это­му, умно­жив на по­ло­жи­тель­ный зна­ме­на­тель и сни­мая мо­дуль, по­лу­ча­ем на луче левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка :

2x плюс 1 мень­ше |x минус 1| плюс x плюс 1 мень­ше или равно 6x плюс 3 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний |x минус 1| мень­ше или равно 5x плюс 2,|x минус 1| боль­ше x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно x минус 1 мень­ше или равно 5x плюс 2,x минус 1 мень­ше минус x или x минус 1 боль­ше x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 353
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026