Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 562696
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны две вы­со­ты BM и CN, при­чем AM : CM  =  2 : 3 и ко­си­нус \angle BAC= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что угол ABC тупой.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BMN и ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AM  =  2x, CM  =  3x. Тогда

BA= дробь: чис­ли­тель: AM, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle BAM конец дроби =2x: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x,

BM в квад­ра­те =BA в квад­ра­те минус AM в квад­ра­те =x в квад­ра­те ,

BC в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =10x в квад­ра­те .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

ко­си­нус \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус AC в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2AB умно­жить на BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5x в квад­ра­те плюс 10x в квад­ра­те минус 25x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та x конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да \angle ABC=135 гра­ду­сов, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Далее по­лу­ча­ем: ко­си­нус \angle ABM= дробь: чис­ли­тель: BM, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , ко­си­нус \angle MBN= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , синус \angle MBN= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , от­ку­да

\angle NBC=180 гра­ду­сов минус \angle ABC=45 гра­ду­сов,

BN=BC умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x.

Тогда

дробь: чис­ли­тель: S_MBN, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BM умно­жить на BN умно­жить на \tfrac2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та \tfrac12 умно­жить на AB умно­жить на BC умно­жить на \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та 2= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на x умно­жить на x умно­жить на \tfrac2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на x умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та x умно­жить на \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та 2= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ответ: б) 2 : 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 353
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026