Последовательность a1, a2, ..., an, ... состоит из натуральных чисел, причем a1 > 4 и an + 1 = an + 4n2 для n ≥ 1.
а) Могут ли a2 и a3 быть простыми числами?
б) Может ли сумма двух подряд идущих членов этой последовательности делиться на 4 нацело, если оба эти члена — простые числа?
в) Какое наибольшее количество подряд идущих членов этой последовательности (не обязательно с первого) могут быть простыми числами?
а) Обозначим a1 = a, тогда a2 = a + 4 и a3 = a + 4 + 16 = a + 20. И то и другое будет простым числом, например, при a = 9.
б) Имеем:
причем an простое и больше двух (последовательность возрастает и a1 > 4), поэтому an нечетно. Значит, 2an не кратно 4, а потому и 2an + 4n2 не кратно 4.
в) Допустим, что an, an + 1, an + 2, an + 3 — простые. Тогда они все не кратны 3 (они все больше 4). Но квадрат при делении на 3 дает либо остаток 0 (у чисел, кратных 3), либо остаток 1 (у остальных чисел). Значит, среди n2, (n + 1)2, (n + 2)2 будет ровно одно число с остатком 0 и два числа с остатком 1. Каким бы ни был остаток у an, одно из получаемых чисел будет кратно трем.
С другой стороны, в последовательности 27, 31, 47, 83, ... есть три простых числа подряд.
Ответ: а) да; б) нет; в) 3.