а)  Пусть сти­ра­ли сле­ду­ю­щие пары чисел: 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Тогда на доске оста­нут­ся числа 1 и 6, сумма ко­то­рых равна 7.

б)  Среди чисел от 101 до 200 ровно 33 числа де­лит­ся на 3, ровно 33 числа дают при де­ле­нии на 3 оста­ток 1 и ровно 34 числа дают при де­ле­нии на 3 оста­ток 2. По усло­вию каж­дый раз с доски сти­ра­ли два числа, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 3. Зна­чит, в каж­дой из пар стёртых чисел либо оба числа де­лят­ся на 3, либо при де­ле­нии на 3 одно из них даёт в остат­ке 1, а дру­гое даёт в остат­ке 2. По­это­му на доске обя­за­тель­но оста­нет­ся число, ко­то­рое де­лит­ся на 3, и число, ко­то­рое при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2. Раз­ность между ними не де­лит­ся на 3 и, сле­до­ва­тель­но, не может рав­нять­ся 51.

в)  Как было до­ка­за­но в преды­ду­щем пунк­те, если на доске оста­лось ровно два числа, то одно из них де­лит­ся на 3, а вто­рое при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2. Пер­вое из этих чисел не мень­ше 102 и не боль­ше 198, вто­рое  — не мень­ше 101 и не боль­ше 200. По­это­му если пер­вое из этих чисел по­де­лить на вто­рое, то по­лу­чит­ся не боль­ше а если вто­рое из этих чисел по­де­лить на пер­вое, то по­лу­чит­ся не боль­ше По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что и наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них, не пре­вос­хо­дит

На доске могли остать­ся толь­ко числа 102 и 200, так как осталь­ные числа от 101 до 200 можно раз­бить на такие пары: 16 пар чисел, де­ля­щих­ся на 3, и 33 пары чисел, в каж­дой из ко­то­рых при де­ле­нии на 3 одно из чисел даёт в остат­ке 1, а дру­гое даёт в остат­ке 2. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них, равно

Ответ: а) да; б) нет; в)