Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую окружность в точках C и D и диаметр в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую пересекает вторично в точке K.
а) Докажите, что MN = NK.
б) Найдите MN, если известно, что CN = 2, ND = 3.
а) Заметим, что AB — диаметр, поэтому угол ANM прямой. Тогда в равнобедренном треугольнике AKM отрезок AN является высотой, проведенной к основанию. Тогда, по свойству равнобедренного треугольника, она является еще и медианой.
б) Заметим, что из симметрии относительно диаметра AB следует, что дуги CB и DB равны, поэтому равны и вписанные углы CNB и DNB. Продлим DN до пересечения со второй окружностью. Тогда треугольники C1NK и CNM симметричны относительно прямой AN, а значит равны. Отсюда C1N = CN. Тогда, по свойству пересекающихся хорд получаем:
откуда 
Ответ: 
Примечание.
Эта задача с другими числовыми данными была включена в вариант А. Ларина № 145: см. задание 513228.