ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 628242 Добавить в вариант

Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что АВ  =  8, ВС  =  12, SA  =  6, SB  =  10, $SD=6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

а)  Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.

б)  Найдите расстояние от точки А до плоскости SCB.

Спрятать решение

Решение.

а)  Треугольник ABS является прямоугольным по теореме, обратной к теореме Пифагора, поскольку

$SA в квадрате плюс AB в квадрате =6 в квадрате плюс 8 в квадрате =10 в квадрате =SB в квадрате .$

Поэтому прямые SA и AB перпендикулярны. Аналогично треугольник SDA является прямоугольным, поскольку

$SA в квадрате плюс AD в квадрате =6 в квадрате плюс 12 в квадрате = левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =SD в квадрате .$

Поэтому прямые SA и SD перпендикулярны. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.

б)  В треугольнике АВS опустим высоту АН и докажем, что прямая АН перпендикулярна плоскости SCB. Прямые ВС и АВ перпендикулярны, так как ABCD  — прямоугольник. Прямые ВС и SA перпендикулярны, так как прямая SA перпендикулярна плоскости АВС. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая ВС перпендикулярна плоскости SAB. А значит, прямая ВС перпендикулярна и прямой АН, лежащей в плоскости ABS.

Таким образом, прямая АН перпендикулярна пересекающимся прямым SB и СB, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая АН перпендикулярна плоскости SCB, следовательно, расстояние от точки А до плоскости SCB равно высоте АН треугольника АВS. Из прямоугольного треугольника АВS находим, что

$AH= дробь: числитель: AS умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: 6 умножить на 8, знаменатель: 10 конец дроби =4,8.$

Ответ: б) 4,8.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 628242: 628273 Все

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Расстояние от точки до плоскости, Четырехугольная пирамида

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь