Дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM = АС
а) Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС = 4.
а) Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис. Следовательно, треугольники АСО и MСО равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, OM = AO = BM. Таким образом, треугольник ВОM является равнобедренным, и углы OBM и BOM равны.
С другой стороны, ВО — биссектриса угла АВС, поэтому углы ABO и OBM равны. Таким образом, углы АВО и ВОM равны, поэтому прямые АВ и ОM параллельны.
б) Четырёхугольник АВMО — равнобедренная трапеция с основаниями АВ и MО, поэтому углы BAO и ABM равны. Отсюда следует, что 
поэтому получаем 
Из треугольника АВС находим, что 
AB = 8. Поскольку 
получаем
В трапеции АВMО проведём высоту ОН. В треугольнике AОН находим, что
Найдём площадь трапеции АВMО:
Ответ: б) 8.