ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 628489 Добавить в вариант

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение

$2a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3|=a в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1$

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $a в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t$ при a > 0, t > 0. Запишем уравнение в виде

$t в квадрате минус 2t умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3| плюс 1=0.$

Введём квадратичную функцию

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 2t умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3| плюс 1.$

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины равна $t_в= логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3|\geqslant0.$ Уравнение $t в квадрате минус 2t умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3| плюс 1=0$ имеет хотя бы одно решение, если его дискриминант D ⩾ 0. Имеем:

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = логарифм по основанию 2 в степени 4 |a минус 3| минус 1= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3| минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3| плюс 1 правая круглая скобка ,$

Решая полученное неравенство, при условиях a > 0 и a ≠ 3, получим $0 меньше a\leqslant1,$ $2,5 меньше или равно a меньше 3,$ $3 меньше a\leqslant3,5,$ $a\geqslant5.$

При данных значениях a корни уравнения $t в квадрате минус 2t умножить на логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3| плюс 1=0$ положительны, так как их сумма положительна и равна $2 логарифм по основанию 2 в квадрате |a минус 3|,$ а произведение равно 1.

Ответ: $0 меньше a\leqslant1,$ $2,5 меньше или равно a меньше 3,$ $3 меньше a\leqslant3,5,$ $a\geqslant5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4.	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 628371: 628489 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь