Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 628918
i

Вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са R с цен­тром в точке O, его диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а про­дол­же­ния сто­рон BC и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что AQ умно­жить на DQ плюс BP умно­жить на DP=OQ в квад­ра­те минус OP в квад­ра­те .

б)  Най­ди­те R, если АВ  =  5, CD  =  6, \angle AQB=30 гра­ду­сов .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ве­дем QG  — ка­са­тель­ную к окруж­но­сти и EF  — диа­метр, про­хо­дя­щий через точку P. Тогда по тео­ре­мам о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках в круге по­лу­ча­ем:

AQ умно­жить на DQ=QG в квад­ра­те =QO в квад­ра­те минус R в квад­ра­те

и

BP умно­жить на DP=EP умно­жить на FP= левая круг­лая скоб­ка R минус OP пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка R плюс OP пра­вая круг­лая скоб­ка =R в квад­ра­те минус OP в квад­ра­те .

Скла­ды­вая эти два ра­вен­ства, по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое.

б)  Пусть \angle ADB= альфа . Тогда, по тео­ре­ме о внеш­нем угле, \angle CBD= альфа плюс 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Далее, по тео­ре­ме си­ну­сов 6=2R умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка и 5=2R умно­жить на синус альфа . По­де­лив одно ра­вен­ство на дру­гое? по­лу­чим:

\dfrac65=\dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg альфа рав­но­силь­но \ctg альфа =\dfrac12 минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 5.

От­сю­да

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \dfrac244 минус 120 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та 25=\dfrac2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 61 минус 30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та 5.

Зна­чит, R= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 61 минус 30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 61 минус 30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 391
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026