Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но при  синус x ко­си­нус x боль­ше 0. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этом усло­вии:

 синус в кубе x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс \ctg x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус в кубе x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус в кубе x плюс синус в квад­ра­те x ко­си­нус x плюс ко­си­нус в кубе x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x синус x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 синус x левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но синус x плюс ко­си­нус x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку синус и ко­си­нус имеют один знак, по­след­нее ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко в слу­чае, когда обе эти функ­ции по­ло­жи­тель­ны, тогда урав­не­ние можно пред­ста­вить в виде

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x конец ар­гу­мен­та в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x боль­ше 0, ко­си­нус x боль­ше 0, синус x = ко­си­нус x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

 дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно 7 Пи рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k=2,k=3. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют ре­ше­ния  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 25 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 25 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние урав­не­ния  синус x плюс ко­си­нус x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку синус и ко­си­нус имеют один знак, по­след­нее ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко в слу­чае, когда обе эти функ­ции по­ло­жи­тель­ны. Раз­де­лим обе части урав­не­ния на  ко­си­нус x, вне­сем ко­си­нус под знак корня и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

 тан­генс x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: тан­генс x конец ар­гу­мен­та плюс 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: тан­генс x конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: тан­генс x конец ар­гу­мен­та =1 рав­но­силь­но тан­генс x= 1 \underset ко­си­нус x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 409
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли