Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 635089
i

B пря­мо­уголь­ни­ке ABCD на сто­ро­не AB как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность C цен­тром О. От­ре­зок OD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке М. Из­вест­но, что дробь: чис­ли­тель: D M, зна­ме­на­тель: A B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 5 : 2.

б)  Най­ди­те MC, если из­вест­но, что A M= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB=2x, тогда DM= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x,

DO= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та умно­жить на x,

от­ку­да AD в квад­ра­те =26x в квад­ра­те минус x в квад­ра­те =25x в квад­ра­те , то есть AD=5x. Сле­до­ва­тель­но, AD:AB=5:2.

б)  По­сколь­ку

ко­си­нус \angle AOM= дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

по тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим от­ре­зок AM:

AM в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те минус 2 умно­жить на x умно­жить на x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из усло­вия сле­ду­ет, что AM в квад­ра­те =2 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби , сле­до­ва­тель­но, x в квад­ра­те =1. Таким об­ра­зом, \angle CDM=\angle AOM, по­это­му от­ре­зок CM также най­дем из тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

CM в квад­ра­те =DM в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на DM умно­жить на CD умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби =
=26 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та плюс 1 плюс 4 минус 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби =27 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби =27 минус дробь: чис­ли­тель: 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

 

Ответ: б) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 27 минус дробь: чис­ли­тель: 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 409
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025