ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 635306 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $тангенс 2 x=2 косинус 2 x умножить на \ctg x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

a)  Уравнение определено при $косинус 2x \not= 0$ и $синус x\not =0.$ Преобразуем уравнение при этих условиях:

$тангенс 2 x=2 косинус 2 x умножить на \ctg x равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно дробь: числитель: 2 синус x косинус x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно синус в квадрате x косинус x= косинус в квадрате 2x косинус x равносильно косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=\pm 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $тангенс 2 x=2 косинус 2 x умножить на \ctg x равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 синус x косинус x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно синус в квадрате x косинус x= косинус в квадрате 2x косинус x равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=\pm 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $тангенс 2 x=2 косинус 2 x умножить на \ctg x равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 синус x косинус x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно синус в квадрате x косинус x= косинус в квадрате 2x косинус x равносильно косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=\pm 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $тангенс 2 x=2 косинус 2 x умножить на \ctg x равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 синус x косинус x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно синус в квадрате x косинус x= косинус в квадрате 2x косинус x равносильно косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=\pm 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $тангенс 2 x=2 косинус 2 x умножить на \ctg x равносильно дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 синус x косинус x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = 2 косинус 2 x умножить на дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно синус в квадрате x косинус x= косинус в квадрате 2x косинус x равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус 2x минус синус x = 0, косинус 2x плюс синус x =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1 = 0, 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=\pm 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи }2 плюс Пи k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

Числа, содержащиеся в найденных сериях решений, удовлетворяют условиям $косинус 2x \not= 0$ и $синус x\not =0.$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят: $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 410

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь