Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р — середина A1D1, точка Q делит отрезок AB1 в отношении 2 : 1, считая от вершины A, R — точка пересечения отрезков BC1 и B1C.
а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR.
б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ AC1 куба.
а) Рассмотрим прямую A1E, где E — середина BB1. Тогда PA1 = RE и отрезки PA1 и RE параллельны, следовательно, четырехугольник PREA1 — параллелограмм. Поскольку прямые A1E и PR параллельны, прямая A1E лежит в плоскости сечения и проходит через точку Q (треугольники AQA1 и EQB1 подобны с коэффициентом k = 2). Кроме того сечение содержит ребро A1D1 и параллельный ему отрезок EF, где точка F — середина СС1, и прямые FD1 и A1E параллельны. По теореме о трех перпендикулярах отрезок A1E перпендикулярен стороне A1D1, следовательно, сечение A1EFD1 является прямоугольником, в котором
Тогда
б) Из точки Q проведем прямую QT, параллельную стороне AD, где точка T лежит в грани CDD1C1. Прямая QT лежит и в сечении, и в плоскости ADC1B1, то есть является линией их пересечения, а значит, точка T лежит на DC1.
Пусть S — точка пересечения AC1 и QT, следовательно, S — точка пересечения AC1 с плоскостью сечения. По теореме Фалеса
Ответ: б) 