Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 635311
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

минус 1 мень­ше или равно синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a минус ко­си­нус 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1

верно при всех дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла:

минус 1 мень­ше или равно синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a минус ко­си­нус 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a минус 1 плюс 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно 2 синус в кубе x минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка синус x мень­ше или равно 1.

Пусть t= синус x и 1 минус a=6b. Введём функ­цию f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =2t в кубе минус 6bt, где минус 1 мень­ше или равно t мень­ше или равно 1. Тогда нужно, чтобы не­ра­вен­ство

минус 1 мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

вы­пол­ня­лось при всех t из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Если b мень­ше или равно 0, то f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2, зна­чит, усло­вие (⁎) не вы­пол­ня­ет­ся при всех t из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Рас­смот­рим слу­чай b боль­ше 0. Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка   — нечётная, по­это­му до­ста­точ­но ис­сле­до­вать её на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Найдём про­из­вод­ную функ­ции и ста­ци­о­нар­ную точку: f' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =6t в квад­ра­те минус 6b, тогда

6t в квад­ра­те минус 6b=0 \underset b боль­ше 0,t боль­ше или равно 0 \mathop рав­но­силь­но t= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та ,

далее:

f левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 минус 6b.

Не­ра­вен­ство (⁎) будет вы­пол­нять­ся для всех t из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в двух слу­ча­ях.

1 слу­чай. Если ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1, то до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вий

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1, минус 1 мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1, минус 1 мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1, минус 1 мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . \undersetb боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше b мень­ше или равно 1, минус 1 мень­ше или равно 2 минус 6b мень­ше или равно 1, минус 1 мень­ше или равно минус 4b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно b мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,b мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно b мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

2 слу­чай. Если ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та боль­ше 1, то до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вий

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та боль­ше 1, минус 1 мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1, минус 1 мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний b боль­ше 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно b мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

По­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но при дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно b мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , то есть если 1 мень­ше или равно 6b мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Вернёмся к ис­ход­но­му па­ра­мет­ру:

1 мень­ше или равно 1 минус a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно минус a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус 1 рав­но­силь­но 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно 0.

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 410
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние про­из­вод­ной для на­хож­де­ния наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026