а)  Числа n и n* со­дер­жат оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство цифр, по­это­му не могут от­ли­чать­ся в 10 раз.

б)  Если в числе n есть цифра, от­лич­ная от 9 и 0, за­ме­ним ее на 9. При этом n уве­ли­чит­ся, а n* умень­шит­ся, зна­чит, у ука­зан­ной дроби уве­ли­чит­ся чис­ли­тель и умень­шит­ся зна­ме­на­тель, то есть дробь уве­ли­чит­ся. Для до­сти­же­ния мак­си­му­ма нужно, чтобы число n со­сто­я­ло из нулей и де­вя­ток, тогда число n* со­сто­ит из нулей и еди­ниц (на ме­стах, со­от­вет­ству­ю­щих ме­стам де­вя­ток в n), от­ку­да и

в)  Со­кра­тим n и n* на мак­си­маль­но воз­мож­ную сте­пень де­сят­ки. После этого они не будут за­кан­чи­вать­ся на 0, а их от­но­ше­ние не из­ме­нит­ся. Кроме того по пунк­ту б) это от­но­ше­ние не пре­вос­хо­дит 9. При­ве­дем не­сколь­ко при­ме­ров.

При n  =  9 по­лу­ча­ем

При n  =  8 по­лу­ча­ем

При n  =  5 по­лу­ча­ем

При n  =  185 по­лу­ча­ем

До­ка­жем, что дру­гих ва­ри­ан­тов нет. Пусть   — по­след­няя цифра n. Пусть, на­при­мер, тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, крат­но 10, то есть 3a крат­но 10, что не­воз­мож­но.

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, 4a крат­но 10, что воз­мож­но толь­ко при a  =  5.

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, то есть 7a крат­но 10, что не­воз­мож­но.

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, крат­но 10, что воз­мож­но толь­ко при

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, то есть 9a крат­но 10, что не­воз­мож­но.

Оста­лось разо­брать слу­чай, когда n кон­ча­ет­ся на 5 и боль­ше чем n* в 3 или 7 раз. Сразу от­ме­тим, что если n кон­ча­ет­ся на 05, то и n* тоже и по­это­му 3n*, 7n* кон­ча­ют­ся на 15,35 со­от­вет­ствен­но.

Пусть   — пред­по­след­няя цифра n, тогда 10 – b  — пред­по­след­няя цифра n*, от­ку­да кон­ча­ет­ся на то есть

крат­но 100 (здесь Тогда: крат­но 100 и крат­но 100.

При x  =  3 по­лу­ча­ем крат­но 100, от­ку­да крат­но 10. Это не­воз­мож­но, не­чет­но.

При x  =  7 по­лу­ча­ем крат­но 100, от­ку­да крат­но 10. Это не­воз­мож­но, не­чет­но.

Ответ: а)  нет; б)  9; в)  1, 4, 5, 9.