ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 637451 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $синус в кубе x плюс косинус в кубе x= косинус 2 x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Преобразуем уравнение:

$синус в кубе x плюс косинус в кубе x= косинус 2 x равносильно синус в кубе x плюс косинус в кубе x = косинус в квадрате минус синус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в квадрате x минус синус x косинус x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус x косинус x плюс синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус косинус x, косинус x=1, синус x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи }4 плюс Пи k, x=2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $синус в кубе x плюс косинус в кубе x= косинус 2 x равносильно синус в кубе x плюс косинус в кубе x = косинус в квадрате минус синус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в квадрате x минус синус x косинус x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус x косинус x плюс синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус косинус x, косинус x=1, синус x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи }4 плюс Пи k, x=2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $синус в кубе x плюс косинус в кубе x= косинус 2 x равносильно$
$равносильно синус в кубе x плюс косинус в кубе x = косинус в квадрате минус синус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в квадрате x минус синус x косинус x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус x косинус x плюс синус x минус косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс синус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус косинус x, косинус x=1, синус x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи }4 плюс Пи k, x=2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см.  рис.). Подходят: $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи }4 плюс Пи k; 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: п конец дроби равая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 416

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь