Основанием правильной пирамиды PABCD является квадрат ABCD. Сечение пирамиды проходит через вершину B и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию рaвeн 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды, если AB = 30.
а) Пусть точка M — середина peбра PD. Так как прямая BM лежит в плоскости сечения, перпендикулярного PD, отрезки BM и PD перпендикулярны, то есть в треугольнике BPD медиана BM является высотой. Значит, BP = BD, но, поскольку PB = PD, треугольник BPD равносторонний, a поэтому
что и требовалось доказать.
б) Из доказанного следует, что 
и 
как высота равностороннего треугольника BPD.
По теореме косинусов в треугольнике APD получаем:
следовательно, 
Пусть четырёхугольник BKML — указанное сечение (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Отрезки KM и PD перпендикулярны, поэтому
Аналогично 
Значит, PK = PL, а потому треугольник PKL подобен треугольнику PAC. Поэтому 
Кроме того, прямые KL и AC параллельны, а прямые AC и BM перпендикулярны, поскольку AC перпендикулярна плоскости BPD, a прямая BM лежит в этой плоскости. Значит, прямые KL и BM перпендикулярны. Поэтому искомая площадь равна
Ответ: 