В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD, в которой 
а основание AD вдвое больше основания BC. Точки P, T, M — середины ребер SB, BC, AB соответственно. Известно, что ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SA = AB.
а) Докажите, что прямые PT и CD взаимно перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды DMPT, если AB = 4.
а) Пусть E — точка пересечения продолжений отрезков AB и DC. Тогда BC — средняя линия треугольника AED, в котором AE = ED = AD. Отрезок AC — медиана правильного треугольника AED, значит, AC является и высотой этого треугольника. Прямая SA — перпендикуляр к плоскости AED, SС — наклонная, AC — проекция наклонной на плоскость AED. По теореме о трёх перпендикулярах прямая SC перпендикулярна прямой CD. Отрезок PT — средняя линия треугольника BSC, следовательно, прямые PT и SC параллельны. Таким образом, прямая PT перпендикулярна прямой CD.
б) Пусть H — точка пересечения прямых TM и DE. Отрезок TM — средняя линия треугольника ABC, следовательно, прямые MT и AC параллельны, тогда прямые DE и TM взаимно перпендикулярны. Кроме того, прямая DH перпендикулярна прямой PT (по п. а), и потому прямая DH перпендикулярна плоскости PTM, то есть является высотой пирамиды DPTM.
Треугольник BTM равнобедренный. Тогда
Далее находим:
Для площади треугольника PTM получаем:
Тогда объем пирамиды DMPT равен
Ответ: б) 