Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются между собой.
а) Докажите, что в трапецию можно вписать окружность.
б) Найдите основания этой трапеции, если её боковые стороны равны 3 и 8, а большая сторона основания видна из центра вписанной окружности под углом 120°.
а) Рассмотрим трапецию ABCD с боковыми сторонами AB и CD, обозначим M и N середины этих сторон соответственно. Пусть окружности с диаметром AB и CD касаются в точке O. Точки M, O, N лежат на одной прямой, поэтому
Тогда радиус окружности 
значит, 
следовательно,
поскольку отрезок MN — средняя линия. Следовательно, 
а потому в трапецию можно вписать окружность.
б) Зметим, что отрезки AO и DO — биссектрисы углов A и D, поскольку точка O — центр вписанной окружности. Тогда
то есть 
Отметим на отрезке AD точки P и Q так, что AP = AM и QD = ND, тогда
По теореме косинусов находим:
то есть 
Тогда 
и 
Ответ: б) 2 и 9.