Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 642409
i

а)  Ре­шить урав­не­ние 2 ко­си­нус в кубе x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства сле­ду­ет, что синус в квад­ра­те x = 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x, от­ку­да по­лу­ча­ем:

2 ко­си­нус в кубе x = ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус x,

то есть

2 ко­си­нус в кубе x плюс ко­рень из 3 ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x минус ко­рень из 3 = 0.

По­ло­жим t = ко­си­нус x, тогда:

2t в кубе плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та t в квад­ра­те минус t минус ко­рень из 3 = левая круг­лая скоб­ка 2t в кубе минус ко­рень из 3 t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из 3 t в квад­ра­те минус 3t пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 2t минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2t минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс ко­рень из 3 t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния t в квад­ра­те плюс ко­рень из 3 t плюс 1 = 0 равен −1, по­это­му оно не имеет кор­ней. Урав­не­ние 2t минус ко­рень из 3 = 0 имеет ко­рень t = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят: минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 642332: 642333 642409 642488 ... Все

Источники:
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025