Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние тан­генс в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби плюс 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Ис­по­льщу­ем след­ствие из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби , по­лу­ча­ем:

тан­генс в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка тан­генс в квад­ра­те x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x = 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x не равно 0,2 синус в квад­ра­те x плюс синус x минус 1 = 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x не равно 0, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x = минус 1, синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, конец со­во­куп­но­сти .k, n при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

минус 4 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k\leqslant минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 мень­ше или равно 2k\leqslant минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 мень­ше или равно k\leqslant минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k= минус 2,k= минус 1. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Для вто­рой серии на­хо­дим:

минус 4 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n \leqslant минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 мень­ше или равно 2n мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 мень­ше или равно n \leqslant минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний n= минус 2,n= минус 1. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям n со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n : k, n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 436
Классификатор алгебры: Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026